L'infini et l'hypothèse du continu (HC)

Pendant très longtemps, jusqu'à la fin du XIX siècle, l'étude de l'infini était considérée comme n'appartenant pas à la science. L'étude de l'infini était du domaine de la philosophie voire même de la religion. C'est grâce à la témérité de Bolzano et de Cantor que l'infini devient un sujet mathématique légitime.
Avant d'exposer l'hypothèse du continu (HC), je voudrais, avant toute chose, rappeler quelques définitions.

Définition : Injection 

Une application f : X --> Y est dite injective ou est une injection si pour tout y dans l'ensemble d'arrivée Y, il existe au plus un élément x dans l'ensemble de définition X tel que f(x) = y. On dit encore dans ce cas que tout élément y de Y admet au plus un antécédent x (par f).

De manière plus formelle : 

Une application f de X dans Y est dite injective si

Remarque : On dit que l'injection préserve les différences ; l'implication précédente équivaut à : 

Définition : Surjection 

Une application f : X --> Y est dite Surjective ou est une surjection si pour tout y de l'ensemble d'arrivée Y,  il existe au moins un élément x dans l'ensemble de définition X tel que f(x) = y. 

De manière plus formelle : 

Une application f de X dans Y est dite surjective si tout élément de l'ensemble d'arrivée Y a au moins un antécédent par f, c'est-à-dire si :

Définition : Bijection 

Une application f : X -->  Y est dite bijective ou est une bijection si  pour tout y de l'ensemble d'arrivée Y, il existe  un et un seul élément x dans l'ensemble de définition X tel que f(x) = y.

En d'autres termes, une bijection est une injection surjective ou une surjection injective. 

De manière plus formelle : 

Soit  f  une application de E dans F.  f est bijective si et seulement si tout élément de l'ensemble d'arrivée F a exactement un et un seul antécédent par f  dans l'ensemble de départ, c'est-à-dire si :

Remarque :  Il est facile de montrer que si deux ensembles finis sont en bijection alors ils ont le même nombre d'éléments. L'extension de cette équivalence aux ensembles infinis a mené au concept de cardinal (ou cardinalité) d’un ensemble. Ci-dessous la définition exacte du terme Cardinalité.

Définition : Cardinalité 

La cardinalité est une notion de taille pour les ensembles. Lorsqu'un ensemble est fini, c'est-à-dire si ses éléments peuvent être listés par une suite finie, son cardinal est la longueur de cette suite, autrement dit il s'agit du nombre d'éléments de l'ensemble. En particulier, le cardinal de l'ensemble vide est zéro.

La généralisation de cette notion aux ensembles infinis est fondée sur la relation d'équipotence : 

Deux ensembles sont dits équipotents s'il existe une bijection de l'un dans l'autre. Par exemple, un ensemble infini est dit dénombrable s'il est en bijection avec l'ensemble des entiers naturels.

Maintenant que j'ai rappelé les définitions ci-dessus,  je vais pouvoir enfin vous exposer l'hypothèse du continu (HC).

Hypothèse du continu (HC) 

Parmi les connaissances adoptées, il y a l'affirmation (due au mathématicien  Georg Cantor) qu'il existe une infinité de sortes différentes d'infinis dont les plus petits échelons, au sens cardinalité, se nomme l'infini dénombrable (celui des entiers) et l'infini du continu (celui des nombres réels). La question simple de savoir s'il existe un infini intermédiaire entre le dénombrable et le continu reste cependant non résolue. 

L'affirmation : « Tout sous-ensemble infini de l'ensemble des réels peut être mis en correspondance bijective, soit avec l'ensemble des entiers, soit avec l'ensemble des réels. En d’autres termes, il n'existe aucun ensemble dont le cardinal est strictement compris entre le cardinal de l'ensemble des entiers naturels et celui de l'ensemble des nombres réels » est nommée Hypothèse du continu et notée HC. 

Depuis plus d'un siècle, on en discute ! Et si on a pu établir (travaux de Paul Cohen) que cette hypothèse ne pouvait se déduire des axiomes de la théorie des ensembles ZFC ( théorie de Zermelo-Fraenkel, comprenant l'axiome du Choix), cette hypothèse n'était pas non plus réfutable dans ZFC. 

Cette hypothèse est donc indépendante des axiomes de la théorie des ensembles ZFC, ou encore indécidable dans cette théorie. 

La question n'est donc toujours pas réglée !