La conjecture des champions sauteurs

Selon des analyses informatiques et heuristiques effectuées sur des ordinateurs on a pu faire le constat suivant :

- Jusqu'à l'entier 389, l'écart le plus fréquemment observé entre deux nombres premiers consécutifs est 2. Ensuite l’écart le plus fréquent est 6 et cela semble le rester très longtemps.
Le champion 6 est détrôné vers 1,70 1036, et est alors remplacé par 30.
(remarquez au passage que 30 = 2x3x5 et que le champion précédent 6 = 2x3).

- Plus généralement, on a constaté que les champions successifs sont les produits de nombres premiers : 2, puis 6 = 2x3, puis 30 = 2x3x5 puis 210 = 2x3x5x7 puis 2310 = 2x3x5x7x11 etc.

Suite à ce constat, une loi remarquable a été énoncée :

Si on note D(n) = 2x3x5x....xpn le produit des nombres premiers jusqu'au n-ième, alors D(n) deviendrait le champion à partir du nombre :
N(n) = exp[( 2x3x5x....x pn-1x(pn-1)/ln((pn-1)/pn-2))]

n D(n) N(n)
2 6 389
3 30 1,70 1036
4 210 5,81 10428
5 2310 1,48 108656
6 30030 1,30 10138357
... ... .....
10 6469693230 3,56 1074595540317

Testée à l'aide d'ordinateurs la loi remarquable ci-dessus apparaît confirmée.

Il ne vous aura pas échappé que ce type d'analyse fait de l'arithmétique une bien étrange science ! En effet, il n'y a ni théorème ni démonstration, seulement des résultats établis par des d'ordinateurs, des pures conjectures !