- Jusqu'à l'entier 389, l'écart le plus fréquemment observé entre deux nombres premiers consécutifs est 2. Ensuite l’écart le plus fréquent est 6 et cela semble le rester très longtemps.
Le champion 6 est détrôné vers 1,70 1036, et est alors remplacé par 30.
(remarquez au passage que 30 = 2x3x5 et que le champion précédent 6 = 2x3).
- Plus généralement, on a constaté que les champions successifs sont les produits de nombres premiers : 2, puis 6 = 2x3, puis 30 = 2x3x5 puis 210 = 2x3x5x7 puis 2310 = 2x3x5x7x11 etc.
Suite à ce constat, une loi remarquable a été énoncée :
Si on note D(n) = 2x3x5x....xpn le produit des nombres premiers jusqu'au n-ième, alors D(n) deviendrait le champion à partir du nombre :
N(n) = exp[( 2x3x5x....x pn-1x(pn-1)/ln((pn-1)/pn-2))]
| n | D(n) | N(n) |
|---|---|---|
| 2 | 6 | 389 |
| 3 | 30 | 1,70 1036 |
| 4 | 210 | 5,81 10428 |
| 5 | 2310 | 1,48 108656 |
| 6 | 30030 | 1,30 10138357 |
| ... | ... | ..... |
| 10 | 6469693230 | 3,56 1074595540317 |
Testée à l'aide d'ordinateurs la loi remarquable ci-dessus apparaît confirmée.
Il ne vous aura pas échappé que ce type d'analyse fait de l'arithmétique une bien étrange science ! En effet, il n'y a ni théorème ni démonstration, seulement des résultats établis par des d'ordinateurs, des pures conjectures !
